Penyelesaian Integral Menggunakan Metode Romberg¶

Metode Romberg¶

Metode integrasi Romberg didasarkan pada perlusaan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua. $$ O(h^{2N}) \rightarrow O(h^{2N+2}) $$ Misalnya,bila $ I(h) $ dan $ I(2h) $ dihitung dengan kaidah trapesium yang berorde galat $ O(h 2) $, maka ekstrapolasi Richardson menghaslkan kaidah Simpson ⅓ yang berorde $ O(h 4) $. Selanjutnya, bila $ I(h) $ dan $ I(2h) $ dihitung dengan kaidah Simpson ⅓, ekstrapolasi Richardson menghaslkan kaidah Boole yang berorde $ O(h 6) $

Dalam hal ini $$ h = {b -a \over n} $$ Dan

$ A_k $ = Perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapesium dan jumlah pias $ n= 2^k $ Orde galat A_k adalah $ O(h^2) $

Sebagai contoh, interval [a,b] dibagi menjadi 64 buah pias/upselang. $$ n=64= 2^6 \rightarrow k = (0,1,2,3,4,5,6) $$ k = 0 adalah $ n =2^0 =1$ pias, $h_0 = {b-a \over 1} \rightarrow A_0 = h_0/2 [f_0 + f_64] $

k = 1 adalah $ n =2^1 =2$ pias, $h_1 = {b-a \over 2} \rightarrow A_0 = h_½ [f_0 + f_32 + f_64] $

dan seterusnya...

Arti dari setiap $ A_k $ adalah

$A_0$ adalah taksiran nilai integrasi $ I = \int_a^b f(x)dx $ dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi $n=2^0=1$ buah pias.

$A_1$ adalah taksiran nilai integrasi $ I = \int_a^b f(x)dx $ dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi $n=2^1=2$ buah pias.

$A_2$ adalah taksiran nilai integrasi $ I = \int_a^b f(x)dx $ dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi $n=2^2=4$ buah pias. dan begitu seterusnya.

Untuk mendapatkan nilai $B_k$ kita dapat menggunakan persamaan ekstrapolasi Richardson dengan memanfaatkan $ A_0, A_1, ... A_k$ yang didapatkan. $$ B_k = A_k + {A_k-A_{k-1} \over 2^2 - 1} $$ Dan begitu seterusnya untuk mendapatkan nilai $ C_k, D_k, E_k ... $. Sehingga kita dapat menghasilkan nilai yang dapat ditransformasikan pada bentuk tabel yang dinamakan Tabel Romberg.

$ O(h^2) $	$ O(h^4) $	$ O(h^6) $	$ O(h^8) $	$ O(h^10) $
$A_0$
$A_1$	$B_1$
$A_2$	$B_2$	$C_2$
$A_3$	$B_3$	$C_3$	$D_3$
$A_4$	$B_4$	$C_4$	$D_4$	$E_4$

Dan $E_4$ merupakan nilai integrasi yang terbaik.

Menghitung Integral dengan Metode Romberg¶

Misalkan terdapat integral $$ \int_0^1 {1 \over 1+ x} dx $$ $ n =8, \ a=0, b=1 $

$ x_r = {b - a \over n} $

$ f_r $ = fungsi integral tersebut.

Tabel titik-titik dalam selang interval [a,b]

$ r $	$x_r$	$f_r$
0	0	1,00000
1	0,125	0,88889
2	0,250	0,80000
3	0,375	0,72727
4	0,500	0,66667
5	0,625	0,61538
6	0,750	0,57143
7	0,875	0,53333
8	1,000	0,50000

Selanjutnya dilanjutkan untuk menghitung $ O(h^q) $

$A_0 = h_0/2[f_0+f_8] = 1/2 [1 + 0.50000] = 0.75000 \\ A_1 = h_1/2[f_0 + 2f_4+f_8] = 0.5 [1 + 2(0.66667) 0.50000] = 0.70833 \\ A_3 = h_2/2[f_0 + 2f_2 + 2f_4 + 2f_6 + f_8] = 0.250/2[1 + 2(0.80000) + 2(0.66667) + 2(0.57143) +0.50000] = 0.69702 \\ A_4 = h_3/2[f_1 + f_2 + f_3+f_4+f_5+f_6+f_7+f_8] = 0.125/2[1+2.088889 + ... +2(0.53333)+0.50000] = 0.69421$

$B_1 = A_1 + {A_1 - A_0 \over 2^2 -1} = 0.69445 \\ B_2 = A_2 + {A_2 - A_1 \over 2^2 -1} = 0.69325 \\ B_3 = A_3 + {A_2 - A_1 \over 2^2 - 1} = 0.69315 \\ C_2 = B_2 + {B_2 - B_1 \over 2_4 - 1} = 0.69317 \\ C_3 = B_3 + {B_3 - B_2 \over 2_4 - 1} = 0.69314 \\ D_3 C_3 + {C_3 - C_3 \over 2_6 - 1} = 0.69314$

Setelah menyelesaikan proses perhitungan kemudian didapatkan nilai yang ditampung pada tabel Romberg berikut.

k	$O(h^2)$	$O(h^2)$	$O(h^4)$	$O(h^6)$
0	0.75000
1	0.70833	0.69445
2	0.69702	0.69325	0.69317
3	0.69412	0.69315	0.69314	0.69314

Jadi hasil dari $ \int_0^1 {1 \over 1+ x} dx \approx 0.69314 $

Implementasi Metode Romberg dengan Python¶

from numpy import zeros

def trapezoid_recursive(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = a
    In = f(a)
    for k in range(1, n):
        x = x + h
        In += 2*f(x)
    return (In + f(b))*h*0.5

def romberg(f, a, b, n):
    R = zeros((n, n))
    print('Tabel Romberg')
    for k in range(0, n):
        R[k, 0] = trapezoid_recursive(f, a, b, 2**k)
        for j in range(0, k):
            R[k, j+1] = (4**(j+1) * R[k, j] - R[k-1, j]) / (4**(j+1) - 1)

        print(R[k, 0:k+1])

    return R


print(' 1/')
print(' / 1/(1+x)')
print('/0\n')

a = 0
b = 1
n = 4

def f(x):
    return 1/(1+x)

hasil = romberg(f, a, b, n)[n-1, n-1]
print('hasil penyelesaian :', round(hasil,5))

Pada program diatas terdapat fungsi trapezoid_recursive(f, a, b, n), yang merupakan implementasi dari rumus berikut. $ h = {b-a \over 2^n} \\ R(n,0) = {1 \over 2}R(n-1,0) + h \left [ \sum _{k=1}^{2(n-1)}f(a+(2k-1)h) \right] $

def trapezoid_recursive(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = a
    In = f(a)
    for k in range(1, n):
        x = x + h
        In += 2*f(x)
    return (In + f(b))*h*0.5

Kemudian terdapat fungsi romberg(f, a, b, n), yang merupakan implementasi dari rumus

$R(n,m) = {1 \over 4^m - 1} \left[ 4^m \times R(n,m-1)-R(n-,m-1) \right], n \le 1, m \leq 1$

def romberg(f, a, b, n):
    R = zeros((n, n))
    print('Tabel Romberg')
    for k in range(0, n):
        R[k, 0] = trapezoid_recursive(f, a, b, 2**k)
        for j in range(0, k):
            R[k, j+1] = (4**(j+1) * R[k, j] - R[k-1, j]) / (4**(j+1) - 1)

        print(R[k, 0:k+1])

    return R

Semua nilai dari proses perhitugan program diatas kemudia dimassukan ke dalam larik yang merupakan bantuan dari libarary numpy. Program tersebut di jalankan dengan melakukan proses penyelesaian integrasi pada integral $ \int_0^1 {1 \over 1+ x} dx $. Saat program tersebut dijalankan maka menghasilkan output seperti berikut.

 1/
 / 1/(1+x)
/0

Tabel Romberg
[0.75]
[0.70833333 0.69444444]
[0.69702381 0.69325397 0.6931746 ]
[0.69412185 0.69315453 0.6931479  0.69314748]
hasil penyelesaian : 0.69315

Sekian terimakasih :)